高中数学二次项定理应用习题举例详解C12

本经验主要通过4道例题，详细介绍二次项展开式定理的运用计算步骤。

方法/步骤

1. ※.若(2x^2+2/x^4)^n的展开式各系数的和为4096，则n和展开式的常数项分别是多少？

   解：求n时使用特殊值法计算，取x=1时，有：

   (2+2)^n=4096,

   即可求出n=6.

   本题展开式通式为：

   Tᵣ=C(6,r)*(2x^2)^(6-r)*(2/x^4)^r

   =C(6,r)*2^(6-r)*x^(2*6-2r)*2^r *x^(-4r)

   =C(6,r)*2^(6-r)*2^r*x^(2*6-2r-4r)

   因为求常数，所以：2*6-2r-4r=0，

   即r=2，则此时的系数为：

   Tᵣ=C(6,r)*2^(6-r)*2^r

   =C(6, 2)*2^(6-2)*2^r=15*16*4=960.

   

2. ※.已知[a/36x-√(x/3)]^9的展开式中x^3的系数为3/2，求常数a的值。

   解：展开式通式Tᵣ =C(9,r)*(a/36x)^(9-r)*[-√(x/3)]^r,

   =C(9,r)*a^(9-r)*(36x)^(r-9)*(-1)^r*(x/3)^(r/2),

   =C(9,r)*(-1)^r*a^(9-r)*36^(r-9)*(1/3)^(r/2)*x^(3r/2-9),

   =C(9,r)*(-1)^r*(a/36)^(9-r)* (1/3)^(r/2) *x^(3r/2-9),

   根据题意有：

   3r/2-9=3,求出r=8，代入有：

   9-r=9-8=1,

   C(9,r)=C(9,8)=9，

   (-1)^r=(-1)^8=1，

   (1/3)^(r/2)= (1/3)^4

   根据系数关系有：

   9*a/36*(1/3)^4=3/2,

   即：a=3/2*3^4*36/9,所以a=486.

    

   

3. ※.在(3-2x)^6*(12+64x)展开式中，x^2的系数是多少？

   解：对(3-2x)^6来说，展开通项有：

   Tᵣ=C(6,r)* 3^(6-r)*(-2x)^r

   =C(6,r)* 3^(6-r)*(-2)^r* x^r

   题意要求x^2的系数，考虑到12+64x有常数项和x的一次项，所以系数是两个系数的和，分别为r=2和r=1，则：

   T=T₁+T₂

   =12*C(6,2)*3^(6-2)*(-2)^2+64*C(6,1)*3^(6-1)*(-2)^1

   =12*4860-64*2916

   =58320-186624

   =-128304.

   

4. ※.求二项展开式(4x+4)⁵中偶数项的系数和。

   解：根据题意，设：

   (4x+4)⁵=a₀x⁵+a₁x⁴+a₂x³+a₃x²+a₄x+a₅,

   偶数项的系数是a₁，a₃，a₅，

   分别令x=1和x=-1，有：

   (4+4)⁵=a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅,

   (4-4)⁵=-a₀+a₁-a₂+a₃-a₄+a₅,

   两式子相加有：

   2(a₁+a₃+a₅)=(4+4)⁵+(4-4)⁵,即：

   2(a₁+a₃+a₅)=32768+0,

   2(a₁+a₃+a₅)=32768,所以：a₁+a₃+a₅=16384。

    

   END

未经允许不得转载：经验百科 » 高中数学二次项定理应用习题举例详解C12